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Analisis y Disenho por Respuesta de Frecuencia


I. Diagramas de Bode [ Margenes de Fase y Ganancia | Frecuencia de ancho de banda | Repuesta de Lazo Cerrado ]

II. Diagrama de Nyquist [ El Criterio de Cauchy | Estabilidad de Lazo Cerrado | Margen de Fase | Margen de Ganancia ]

El Diagrama de Nyquist

El diagrama de Nyquist permite predecir la estabilidad y el funcionamiento de un sistema de lazo cerrado observando su comportamiento de lazo abierto. El criterio de Nyquist se puede utilizar para los propósitos de diseño independientemente de la estabilidad de lazo abierto (recuerde que los métodos de diseño de Bode asumen que el sistema es estable en lazo abierto). Por lo tanto, utilizaremos este criterio para determinar la estabilidad de lazo cerrado cuando los diagramas de Bode muestran la información de un modo quizas confuso. La siguiente pelicula le ayudará a visualizar la relación entre el diagrama de Bode y el diagrama de Nyquist.

El diagrama de Nyquist es básicamente un diagrama de G(j * w) donde G(s) es la función de lazo abierto de transferencia y W es un vector de frecuencias que incluye el semiplano derecho. En el dibujo se consideran tanto frecuencias positivas como negativas (de cero al infinito) Representaremos frecuencias positivas en rojo y negativas en verde. El vector de frecuencias usado para trazar el diagrama de Nyquist luce generalmente como se muestra (si usted puede imaginar el diagrama estirado hacia el infinito):

 

Para poder ver como el vector de frecuencias contribuye al diagrama de Nyquist mas claramente, vea la pelicula.

Sin embargo, si tenemos polos de lazo abierto o ceros en el eje jw, G(s) no estara definido en esos puntos, y debemos "esquivarlos" cuando estamos trazando el contorno. Tal contorno quedaria como sigue:

Observese que el contorno gira alrededor del polo en el eje del jw. El comando nyquist de SCILAB no toma polos o ceros en el eje jw y por lo tanto producen un diagrama incorrecto. Para esto, deben introducirse algunas modificaciones al usar el comando.

El Criterio de Cauchy

El criterio de Cauchy (del análisis de variable compleja) indica que, al tomar un contorno cerrado en el plano complejo, y mapearlo a traves de una función compleja G(s), el número de veces que el diagrama de G(s) rodea al origen es igual al número de los ceros de G(s) incluidos por el contorno menos el número de polos de G(s) incluidos por el contorno. Los rodeos al origen son positivos si poseen la misma dirección que el contorno original, siendo negativos si su direccion es opuesta.

Al estudiar control realimentado, no estamos tan interesados en G(s) sino mas bien el la funcion de lazo cerrado: 
G(s)
---------
1 + G(s)
Si 1+ G(s) rodea al origen, luego G(s) incluirá el punto -1. Puesto que estamos interesados en la estabilidad de lazo cerrado, deseamos saber si existen algunos polos de lazo cerrado (ceros de 1 + G(s)) en el semiplano derecho. Mayores detalles sobre cómo determinar esto se presentaran más adelante.

Por lo tanto, el comportamiento del diagrama de Nyquist alrededor del punto -1 en el eje real es muy importante; sin embargo, el eje en el diagrama nyquist standard puede dificular el analisis de lo que ocurre alrededor de este punto. Para corregir esta situacion, puede agregarse la función " lnyquist1.sce" a sus archivos. El comando "lnyquist1.sce" traza el diagrama de Nyquist usando una escala logarítmica y preserva las características del punto -1.

Para ver un diagrama simple de Nyquist usando SCILAB, definiremos la siguiente función de transferencia y crearemos el diagrama de Nyquist, en el archivo "nyquist1.sce": 
0.5
-------
s - 0.5
// Definicion del sistema
s=poly(0,"s");
num=poly([0.5],"s","coeff");
den=poly([-0.5 1],"s","coeff");
[sistema1]=syslin('c',num,den);
nyquist(sistema1,-10000,10000)

Veremos ahora el diagrama de Nyquist de la siguiente funcion de transferencia: 

   s + 2
   -----
   s^2
Note que esta funcion posee un polo en el origen.

Notese que este grafico no es preciso, ya que la existencia de polos en el origen imponen modificaciones en la aplicacion de la funcion.

Estabilidad de Lazo Cerrado

Recuerdese del criterio de Cauchy que el numero de veces N que el grafico de G(s)H(s) rodea al punto -1 es igual al numero Z de ceros de 1 + G(s)H(s) rodeados por el contorno de frecuencias menos el numero P de polos de 1 + G(s)H(s) rodeados por el contorno de frecuencia (N = Z - P). Tomando en cuenta esto, deberia quedar claro que:

El criterio de Nyquist establece por tanto que:

La ecuacion que relaciona estas cantidades es: 

Z = P + N

Nota: esta es solamente una convencion para el criterio de  Nyquist.  Otra convencion establece que los rodeos antihorarios son positivos. En este caso la ecuacion se transforma en 
Z = P - N.  En nuestro estudio adoptaremos la convencion primera.
Es muy importante (y algo difícil) aprender cómo contar el número de rodeos del diagrama sobre -1. Por lo tanto, discutiremos con mayor detalle para ayudarle a a visualizar esto. Usted puede observar la sigiente pelicula como ejemplo.
Otra manera de analizar el tema es imaginarse que usted está estando parado encima del punto -1 y que está siguiendo el diagrama del comienzo al extremo. Ahora pregúntese: ¿Cuántas veces di vueltas a mi cabeza 360 grados completos? Otra vez, si el movimiento era a la derecha, N es positivo, y si el movimiento es a la izquierda, N es negativo. Sabiendo el número de los polos (inestables) del semiplano derecho en el lazo abierto (p), y el número de rodeos de -1 hechos por el diagrama de Nyquist (n), podemos determinar la estabilidad de lazo cerrado del sistema. Si Z = P + N es un número positivo, distinto a cero, el sistema de lazo cerrado es inestable.

Podemos también utilizar el diagrama de Nyquist para encontrar el rango de ganancias de realimentacion de lazo cerrado para que el sistema sea estable. Nuestro sistema de prueba se vera como se muestra:
 

donde G(s) es : 
   s^2 + 10 s + 24
   ---------------
    s^2 - 8 s + 15
Este sistema posee una ganacia K, que puede ser variada para modificar la respuesta de lazo cerrado. Sin embargo, veremos que solo podemos variar esta ganancia dentro de ciertos limites, ya que tenemos que asegurar la estabilidad de nuestro sistema de lazo cerrado. Buscaremos por tanto lo siguiente: el rango de ganancias que aseguran la estabilidad del sistema de lazo cerrado.

El archivo que crearemos se llamara 'nyquist2.sce'.Primeramente, se determina el numero de polor reales positivos en la funcion de trasnferencia de lazo cerrado:

// Definicion del sistema

s=poly(0,"s");
num=poly([24 10 1],"s","coeff");
den=poly([15 -8 1],"s","coeff");
[sistema1]=syslin('c',num,den);

// determinacion de las raices de lazo abierto
roots(den)

Las raices resultantes son 3 y 5.

Los polos de la funcion de transferencia de lazo cerrado son ambos positivos. Por lo tanto necesitamos 2 rodeos antihorarios (N=-2) del diagrama de Nyquist para poseer un sistema estable.

Veamos ahora nuestro diagrama de Nyquist para una ganancia igual a 1:

nyquist(sistema1,-10000,10000)

Podemos ver que existen 2 giros antihorarios alrededor de -1. Por lo tanto, el sistema es estable para una ganancia igual 1. Veremos que ocurre si incrementamos la ganancia a 20:

// incrementando la ganancia de realimentacion a 20
num=poly(20*[24 10 1],"s","coeff");
[sistema2]=syslin('c',num,den);
nyquist(sistema2,-10000,10000)

El diagrama se ha expandido. Por lo tanto, sabemos que el sistema sera estable independientemente del incremento de la ganancia. Sin embargo, si disminuimos la ganancia el diagrama se contraera y el sistema podra volverse inestable. Veamos que sucede con una ganancia de 0.5:

/ disminuyendo la ganancia de realimentacion a 0.5
num=poly(0.5*[24 10 1],"s","coeff");
[sistema3]=syslin('c',num,den);
nyquist(sistema3,-10000,10000)

El sistema es ahora inestable. Por tanteo y error podemos determinar que este sistema se vuelve inestable para ganancias menores que 0.8.

Margen de Ganancia

Hemos definido al margen de ganancia como el cambio necesario (en dB) en la ganancia de lazo abierto en 180 grados de desfasaje para que el sistema se vuelva inestable. Estableceremos ahora la procedencia de dicha afirmacion. Antes que nada, digamos que tenemos un sistema estable si no existen rodeos al punto -1, tal como :
50
s^3 + 9 s^2 + 30 s + 40
Observando las raices, notamos que no existen polos de lazo abierto en el semiplano derecho, y por lo tanto, no habran polos de lazo cerrado en el semiplano derecho si no existen rodeos a -1. Ahora, nos preguntamos cuanto puede variar la ganancia antes que el sistema se vuelva inestable en lazo cerrado? Observemos la siguiente figura:

El sistema de lazo abierto representado por este grafico sera inestable is la ganancia en incrementada por encima de cierto limite. La region del eje real negativo entre -1/a y -1 representa el incremento de ganancia que puede ser tolerado.

Notese que, si la ganacia es igual a "a", el diagrama cruza en el punto -1, G(jw) = -1/a = a*G(jw) = a* -1/a => a*G(jw) = -1 Por lo tanto, decimos que el margen de ganancia es "a" unidades. Sin embargo, mencionamos con anterioridad que el margen de ganancia es medido usualmente en decibeles. Asi, el margen de ganancia es:

GM = 20*log10(a) [dB]
Encontraremos el margen de ganancia de la funcion de transferencia estable que vimos anteriormente. Recuerdese que la funcion era:

50
s^3 + 9 s^2 + 30 s + 40
y que el diagrama de ahoraNyquist puede ser obtenido segun:

nyquist (50, [1 9 30 40 ])

Como discutimos antes, todo que necesitamos hacer para encontrar el margen de ganancia es determinar 'a', según lo definido en la figura precedente. Para hacer esto, necesitamos encontrar el punto donde existen exactamente 180 grados de desfasamiento. Esto significa que la función de la transferencia en este punto es real (no tiene ninguna parte imaginaria). El numerador es de por si real, así que solo necesitamos analizar el denominador. Cuando s = j*w, los únicos términos en el denominador que tendrá componentes imaginarias son las potencias impares de s. Por lo tanto, para que G(j*w) sea real, debemos tener: -j w^3 + 30 j w = 0 lo que significa w=0 (punto extremo derecho en el diagrama de Nyquist) o w=raiz(30). Entonces, podemos encontrar el valor de G(j*w) en este punto usando la siguiente expresion:

// Determinacion del valor de la funcion de transferencia
// para w=raiz(30)
horner(num,sqrt(30)*%i)/horner(den,sqrt(30)*%i)

Nuestra respuesta es: -0.2174 + 0i. La parte imaginaria es cero, de modo tal que sabemos que nuestra respuesta es correcta. Podemos ademas verificar por medio de una nueva observacion al grafico de Nyquist. Podemos proceder ahora a hallar el margen de ganancia. Verificamos que los 180 grados de desfasaje ocurren en -0.2174 + 0i. Este punto fue definido previamente como -1/a. Por lo tanto, ahora tenemos 'a', que es el margen del ganancia. Sin embargo, necesitamos expresar el margen de ganancia en decibelios,

-1/a = -0.2174 => a = 4.6 => GM = 20*log10( 4.6) = 13.26 dB

Ahora tenemos determinado nuestro margen de ganancia. Veamos la exactitud de este valor:

// Margen de ganancia del sistema
a=4.6;
s=poly(0,"s");
num=poly(a*[50],"s","coeff");
den=poly([40 30 9 1],"s","coeff");
[sistema5]=syslin('c',num,den);
nyquist(sistema5,-10000,10000)

El grafico aparenta atravesar justo en el punto -1.

Margen de Fase

Hemos discutido ya la importancia del margen de fase. Por lo tanto, hablaremos solamente del origen de este concepto. Hemos definido al margen de la fase como el cambio en el desplazamiento de fase de lazo abierto requerido, con ganancia unitaria, para inestabilizar el sistema de lazo cerrado. Observemos el grafico siguiente para obtener una idea mejor de lo que estamos hablando.

Analicemos el diagrama anterior y observemos la situacion. De nuestro ejemplo anterior sabemos que este sistema particular será inestable en lazo cerrado si el diagrama de Nyquist rodea el punto -1. Sin embargo, debemos también darnos cuenta que, si el diagrama es desplazado en fase en una cantidad de theta grados, entonces tocará el punto -1 sobre el eje real negativo, haciendo el sistema marginalmente estable en lazo cerrado. Por lo tanto, el ángulo requerido para hacer este sistema marginalmente estable en lazo cerrado se llama margen de la fase (medido en grados). Para encontrar el punto desde donde medir este ángulo, dibujamos un círculo con radio 1, encontramos el punto en el diagrama de Nyquist con una magnitud de 1 (ganancia en DB cero), y medimos el desplazamiento de fase necesario para que este punto tenga una fase de 180 grados.